这是一篇关于 MTPA（最大转矩电流比）控制策略的技术文章，包含了完整的数学模型推导与物理意义分析。

永磁同步电机 MTPA（最大转矩电流比）控制技术详解

一、概述

在永磁同步电机（PMSM）控制系统中，MTPA（Maximum Torque Per Ampere，最大转矩电流比） 是一项核心的控制策略。其核心目标是：在定子电流幅值受限的前提下，寻求最优的 $d$ 轴和 $q$ 轴电流分配，使得电磁转矩输出最大化。
从工程角度看，MTPA 控制具有极高的价值：

1. 提升转矩密度：在同样的电流限制下输出更大的转矩。
2. 降低铜耗：在输出同样转矩的前提下，所需电流最小，从而降低定子铜耗 $P_{Cu} = \frac{3}{2}I_s^2 R_s$，提升效率。
3. 优化发热：减小电流不仅降低了损耗，也降低了电机热负荷，有利于长时间运行。
   本文将从统一的转矩模型出发，分别推导表贴式永磁同步电机（SPMSM）和内置式永磁同步电机（IPMSM）的 MTPA 轨迹。

二、PMSM 统一转矩模型

在 $d-q$ 旋转坐标系下，永磁同步电机的电磁转矩方程通常表示为：

$$ T_e = \frac{3}{2} p_n \left[ \psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \right] \tag{1} $$

其中：

• $p_n$：极对数
• $\psi_f$：永磁体磁链
• $L_d, L_q$：$d$ 轴和 $q$ 轴电感
• $i_d, i_q$：$d$ 轴和 $q$ 轴电流
  该方程由两部分组成：

1. 永磁转矩：$\frac{3}{2} p_n \psi_f i_q$，由永磁体与定子电流相互作用产生。
2. 磁阻转矩：$\frac{3}{2} p_n (L_d - L_q) i_d i_q$，由磁路磁阻变化产生。
   电机的电流约束条件为电流极限圆：

$$ i_d^2 + i_q^2 \le I_{\max}^2 \tag{2} $$

MTPA 的本质就是在约束条件 (2) 下，求解优化问题 $\max T_e(i_d, i_q)$。

三、SPMSM 的 MTPA 轨迹推导

3.1 模型简化

对于表贴式永磁同步电机（SPMSM），其结构特点是气隙均匀，因此：

$$ L_d = L_q = L_s $$

代入转矩方程 (1)，磁阻转矩项消失，转矩方程简化为：

$$ T_e = \frac{3}{2} p_n \psi_f i_q \tag{3} $$

3.2 优化求解

由式 (3) 可知，转矩 $T_e$ 仅与 $i_q$ 成正比，与 $i_d$ 无关。
根据约束条件 (2) $i_d^2 + i_q^2 \le I_{\max}^2$，为了使 $i_q$ 最大，必须让 $i_d$ 占用的“额度”最小，即 $i_d = 0$。
数学推导（拉格朗日乘子法）：
构造拉格朗日函数：

$$ \mathcal{L}(i_d, i_q, \lambda) = i_q + \lambda (i_d^2 + i_q^2 - I_{\max}^2) $$

对变量求偏导并令其为零：

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_d} = 2\lambda i_d = 0 \implies i_d = 0 $$

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_q} = 1 + 2\lambda i_q = 0 $$

代入约束可得 $i_q = I_{\max}$。

3.3 结论

SPMSM 的 MTPA 轨迹方程为：

$$ i_d = 0 $$

在 $i_d - i_q$ 平面上，这是一条沿着 $i_q$ 轴的直线。这意味着对于 SPMSM，MTPA 控制等同于 $i_d=0$ 控制（零 $d$ 轴电流控制）。

四、IPMSM 的 MTPA 轨迹推导

4.1 问题分析

对于内置式永磁同步电机（IPMSM），由于转子结构导致磁路不对称，通常满足：

$$ L_q > L_d \implies L_d - L_q < 0 $$

此时磁阻转矩项 $\frac{3}{2} p_n (L_d - L_q) i_d i_q$ 不为零。当 $i_d < 0$ 且 $i_q > 0$（电动机状态）时，该项为正值，能够辅助输出转矩。
因此，我们需要在电流极限圆上寻找使 $T_e$ 最大的点。此时问题变为带约束的极值问题。

4.2 拉格朗日乘子法推导

忽略系数 $\frac{3}{2}p_n$，构造拉格朗日函数：

$$ \mathcal{L}(i_d, i_q, \lambda) = \psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q + \lambda (i_d^2 + i_q^2 - I_{\max}^2) $$

分别对 $i_d, i_q$ 求偏导并令其为零：

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_d} = (L_d - L_q) i_q + 2\lambda i_d = 0 \tag{4} $$

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_q} = \psi_f + (L_d - L_q) i_d + 2\lambda i_q = 0 \tag{5} $$

由式 (4) 解出 $\lambda$：

$$ \lambda = -\frac{(L_d - L_q) i_q}{2 i_d} $$

将其代入式 (5)：

$$ \psi_f + (L_d - L_q) i_d - \frac{(L_d - L_q) i_q}{i_d} \cdot i_q = 0 $$

整理后得到：

$$ \psi_f i_d + (L_d - L_q)(i_d^2 - i_q^2) = 0 \tag{6} $$

式 (6) 即为 IPMSM 的 MTPA 隐式轨迹方程。

4.3 显式方程推导（工程常用形式）

为了便于控制器实现，我们通常需要将 $i_d$ 表示为 $i_q$ 的函数。
引入电流矢量幅值 $I_s$ 和相位角 $\beta$（电流矢量超前 $d$ 轴的角度）：

$$ i_d = I_s \cos\beta, \quad i_q = I_s \sin\beta $$

代入转矩方程 (1)：

$$ T_e = \frac{3}{2} p_n I_s \left[ \psi_f \sin\beta + \frac{1}{2}(L_d - L_q) I_s \sin 2\beta \right] $$

在给定 $I_s$ 下，对 $T_e$ 关于 $\beta$ 求导并令其为零：

$$ \frac{\partial T_e}{\partial \beta} = \frac{3}{2} p_n I_s \left[ \psi_f \cos\beta + (L_d - L_q) I_s \cos 2\beta \right] = 0 $$

解此三角函数方程，并利用 $\cos 2\beta = 2\cos^2\beta - 1$，最终可推导出 $i_d$ 关于 $i_q$ 的显式表达式：

$$ i_d = \frac{\psi_f - \sqrt{\psi_f^2 + 4(L_d - L_q)^2 i_q^2}}{2(L_d - L_q)} \tag{7} $$

注：由于 $L_d - L_q < 0$，该式计算结果 $i_d$ 为负值。

五、物理意义解析

5.1 为什么 SPMSM 的 MTPA 是直线？

对于 SPMSM，$d$ 轴电流 $i_d$ 不产生转矩，只会增加定子电流的热损耗。因此，最优策略是“不浪费任何电流额度在 $i_d$ 上”，将所有电流全部用于产生转矩的 $i_q$ 轴。这就是 $i_d=0$ 控制的物理本质。

5.2 为什么 IPMSM 的 MTPA 是曲线？

对于 IPMSM，虽然 $i_d$ 会增加电流幅值，但负的 $i_d$ 能产生正向的磁阻转矩。这就形成了一个“投资与回报”的博弈：

• 代价：增加 $|i_d|$ 会占用电流极限圆的额度，导致 $i_q$ 必须减小（永磁转矩减小）。
• 收益：增加 $|i_d|$ 会增加磁阻转矩。
  MTPA 曲线就是寻找这两者的最佳平衡点。在电流较小时，增加少量 $|i_d|$ 就能获得显著的磁阻转矩增益，因此曲线向左弯曲；随着电流增大，磁路饱和等因素影响，增益逐渐平衡。最终，MTPA 轨迹呈现出一条向 $i_d$ 负半轴弯曲的曲线。

六、工程实现策略

在实际的 FOC（磁场定向控制）算法中，MTPA 的实现通常有以下两种方式：

6.1 查表法

离线根据电机参数计算 MTPA 曲线数据，生成 $T_e^* \rightarrow (i_d^*, i_q^*)$ 的二维表格。运行时根据目标转矩指令直接查表。

• 优点：计算量小，实时性好。
• 缺点：依赖参数准确性，参数变化会导致偏离 MTPA 点。

6.2 公式计算法

在程序中实时求解方程 (7)。通常流程为：

1. 根据转矩环输出得到目标转矩 $T_e^*$。
2. 联立转矩方程 (1) 和 MTPA 方程 (7) 迭代求解 $i_d^*, i_q^*$。
   或者，更简单的方法是：先计算出 $i_q$ 的参考值，然后代入公式 (7) 直接计算对应的 $i_d$。

// 伪代码示例
float Calc_Id_MTPA(float Iq_ref) {
    float delta_L = Ld - Lq; // 负值
    float temp = sqrt(psi_f * psi_f + 4 * delta_L * delta_L * Iq_ref * Iq_ref);
    float Id_ref = (psi_f - temp) / (2 * delta_L);
    return Id_ref;
}

七、总结